Есть ли обязанность работника по возмещению затрат, понесенных работодателем на его обучение, если он уволился без уважительных причин до истечения срока трудового договора?

Да, имеется.

В силу ст.249 Трудового кодекса РФ в случае увольнения без уважительных причин до истечения срока, обусловленного трудовым договором или соглашением об обучении за счет средств работодателя, работник обязан возместить затраты, понесенные работодателем на его обучение, исчисленные пропорционально фактически не отработанному после окончания обучения времени, если иное не предусмотрено трудовым договором или соглашением об обучении.